【请教】递归算法 的时间复杂度。。。非常感谢各位！

Question

void mergesort(int a[],int i,int j){ int m; if(i!=j) { m=(i+j)/2; mergesort(a,i,m); mergesort(a,m+1,j); merge(a,i,j,m); }}求mergesort(a,0,n-1)的时间复杂度，其中，merge(a,i,j,m)用于两个有序子序列a[i..m]和a[m+1..j]的合并，是非递归函数调用，它的时间复杂度为O(合并的元素个数)？我先计算 mergesort(a,i,m);再计算 mergesort(a,m+1,j);和 merge(a,i,j,m);发现和答案不一样。看了看答案的解题思路，又一知半懂。。能给出详细的过程吗？？非常感谢！！！！！数据结构比我想象的难多了。

Answer 1

是O（nlgn）吧？

Answer 2

没有人回答 呀！！！！ [em:15]

Answer 3

可以说说具体的操作吗？ 我很白的。。

Answer 4

哈哈，我正好刚刚Google了：递归算法的时间复杂度分析 在算法分析中，当一个算法中包含递归调用时，其时间复杂度的分析会转化为一个递归方程求解。实际上，这个问题是数学上求解渐近阶的问题，而递归方程的形式多种多样，其求解方法也是不一而足，比较常用的有以下四种方法： (1)代入法(Substitution Method) 代入法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法来验证该解是否合理。 (2)迭代法(Iteration Method) 迭代法的基本步骤是迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和式，然后通过对和式的估计来达到对方程左端即方程的解的估计。 (3)套用公式法(Master Method) 这个方法针对形如“T(n) = aT(n/b) + f(n)”的递归方程。这种递归方程是分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子问题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a个子间题的解的综合，得到原问题的解。 (4)差分方程法(Difference Formula Method) 可以将某些递归方程看成差分方程，通过解差分方程的方法来解递归方程，然后对解作出渐近阶估计。 下面就以上方法给出一些例子说明。 一、代入法 大整数乘法计算时间的递归方程为：T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中T(1) = O(1)，我们猜测一个解T(n) = O(n2 )，根据符号O的定义，对n>n0，有T(n) < cn2 - eO(2n)（注意，这里减去O(2n)，因其是低阶项，不会影响到n足够大时的渐近性），把这个解代入递归方程，得到： T(n) = 4T(n/2) + O(n) ≤ 4c(n/2)2 - eO(2n/2)) + O(n) = cn2 - eO(n) + O(n) ≤ cn2 其中，c为正常数，e取1，上式符合 T(n)≤cn2 的定义，则可认为O(n2 )是T(n)的一个解，再用数学归纳法加以证明。 二、迭代法 某算法的计算时间为：T(n) = 3T(n/4) + O(n)，其中T(1) = O(1)，迭代两次可将右端展开为： T(n) = 3T(n/4) + O(n) = O(n) + 3( O(n/4) + 3T(n/42 ) ) = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + 3T(n/43 ) ) ) 从上式可以看出，这是一个递归方程，我们可以写出迭代i次后的方程： T(n) = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + ... + 3( n/4i + 3T(n/4i+1 ) ) ) ) 当n/4i+1 =1时，T(n/4i+1 )=1，则 T(n) = n + (3/4) + (32 /42 )n + ... + (3i /4i )n + (3i+1 )T(1) < 4n + 3i+1 而由n/4i+1 =1可知，i0，有f(n) = O(nlogb a-ε )，则T(n) = O(nlogb a ) 2.若f(n) = O(nlogb a )，则T(n) = O(nlogb a *logn) 3.若f(n) = O(nlogb a+ε )，且对于某常数c>1和所有充分大的正整数n，有af(n/b)≤cf(n)，则T(n)=O(f(n))。 设T(n) = 4T(n/2) + n，则a = 4，b = 2，f(n) = n，计算得出nlogb a = nlog2 4 = n2 ，而f(n) = n = O(n2-ε )，此时ε= 1，根据第1种情况，我们得到T(n) = O(n2 )。 这里涉及的三类情况，都是拿f(n)与nlogb a 作比较，而递归方程解的渐近阶由这两个函数中的较大者决定。在第一类情况下，函数nlogb a 较大，则T(n)=O(nlogb a )；在第三类情况下，函数f(n)较大，则T(n)=O(f (n))；在第二类情况下，两个函数一样大，则T(n)=O(nlogb a *logn)，即以n的对数作为因子乘上f(n)与T(n)的同阶。 但上述三类情况并没有覆盖所有可能的f(n)。在第一类情况和第二类情况之间有一个间隙：f(n)小于但不是多项式地小于nlogb a ，第二类与第三类之间也存在这种情况，此时公式法不适用。

Answer 5

代码都有了，就加几行记一下步数，跑一下就知道结果啦